Question

已知：如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度數(shù)；
（2）若長(zhǎng)方形PQRS的頂點(diǎn)分別在AB、AE和BE上，試求正方形PQRS的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD∥BC，∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，因而就可以求得∠2，根據(jù)圖形的折疊的定義，可以得到∠BEF=∠2，進(jìn)而就可以求的∠3的度數(shù)；
（2）根據(jù)四邊形PQRS是正方形，得出在直角△QRE中，由（1）知∠3=60°，則∠EQR=30°，即可得出∠AQP=60°，∠APQ=30°，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出關(guān)于AE的等式方程求出即可．

解答：解：（1）由AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∠BEF=∠2=60°，
∴∠3=180-60-60=60°．

（2）∵四邊形PQRS是正方形，得出在直角△QRE中，由（1）知∠3=60°，
則∠EQR=30°，
∴在直角△APQ中，∠AQP=90°-30°=60°，
∴∠APQ=90°-60°=30°；
設(shè)AQ=x，則PQ=2x，
∴QR=2x，故QE=

4 3

3

x，
∵AE=1，
∴AQ+QE=x+

4 3

3

x=1，
解得：x=

4 3 -3

13

，
∴QR=2×

4 3 -3

13

=

8 3 -6

13

．
∴正方形PQRS的邊長(zhǎng)為：

8 3 -6

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖象的翻折變換以及正方形的性質(zhì)，利用已知圖形的折疊就是已知兩個(gè)圖形全等，要注意弄清題目中的已知條件得出∠BEF=∠2是解題關(guān)鍵．