Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），將△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁B₁O．
（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少？
（2）分別求出點(diǎn)A₁，B₁的坐標(biāo)；
（3）連接BB₁交A₁O于點(diǎn)M，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是一段弧長(zhǎng)．但要計(jì)算弧長(zhǎng)就要求出圓心角和半徑，所以根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2）．可知OB=

5

，旋轉(zhuǎn)的角度是90度．利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出B₁的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，1），根據(jù)B₁的坐標(biāo)，我們不難得出∠B₁OA₁的余弦值應(yīng)該是

5

5

，而OB₁=

5

，因此OA₁=5即A₁的坐標(biāo)是（0，5）．
（3）可根據(jù)B，B₁的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出BB₁所在直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：
（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），
根據(jù)勾股定理可知OB=

5

，
根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得

90π× 5

180

=

5

2

π．

（2）作BD⊥AO于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），
∴OD=1，BD=2，
∴BO=

5

，OA=5，
∴A₁（0，5），B₁（2，1）．

（3）設(shè)BB₁所在直線(xiàn)的解析式為y=kx+b，因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)B（-1，2），B₁（2，1），可得：

-k+b=2 2k+b=1

解得

k=- 1 3 b= 5 3

因此BB₁所在直線(xiàn)的解析式為y=-

1

3

x+

5

3

因此M的坐標(biāo)應(yīng)該是M（0，

5

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式以及用待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出各點(diǎn)的左邊是解題的關(guān)鍵．