Question

如圖，在□ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.

（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四邊形AECF的面積.

Answer 1

（1）證明見解析; （2）24.

試題分析：（1）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四條邊相等的四邊形是菱形即可證明;
（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì), 勾股定理求出菱形AECF的兩對(duì)角線長(zhǎng),即可根據(jù)菱形的面積公式求得.
試題解析：（1）∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC. ∴∠1=∠4=∠3. ∴AF=AE.
∴AE=EC=CF=FA.∴四邊形AECF是菱形．

（2）∵EF垂直平分AC，AC⊥CD，∴EF∥CD.
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC. ∴四邊形ECDF是平行四邊形.
又∵AB=6，∴EF="CD=" AB=6.
在Rt△ACD中, ∵CD="6,AD=" BC=10，∴根據(jù)勾股定理,得AC=8.
∴四邊形AECF的面積=×AC×EF=24.