Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點B在x軸的正半軸上，D（0，8），將矩形OBCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處.

（1）若圖1中的點 P 恰好是CD邊的中點，求∠AOB的度數(shù).

（2）如圖1，已知折痕與邊BC交于點A，若OD=2CP，求點A的坐標(biāo).

（3）如圖2，在（2）的條件下，擦去折痕AO，線段AP，連接BP，動點M在線段OP上（點M與P，O不重合），動點N在線段OB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E，試問當(dāng)點M，N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？

若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）A（10，5）； （3）2．

【解析】

（1）根據(jù)點P恰好是CD邊的中點設(shè)DP=PC=y，則DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根據(jù)OD2+DP2=OP2，解得：y= ，然后利用△ODP∽△PCA得到AC=，從而利用tan∠AOB=得到∠AOB=30°；

（2）設(shè)OB=OP=DC=x，則DP=x-4，在Rt△ODP中，根據(jù)OD2+DP2=OP2，解得：x=10，然后根據(jù)△ODP∽△PCA得到AC==3，從而得到AB=5，表示出點A（10，5）；

（3）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的結(jié)論求出PB，最后代入EF=PB即可得出線段EF的長度不變．

（1）∵點P恰好是CD邊的中點，
設(shè)DP=PC=y，
則DC=OB=OP=2y，
在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，
即：82+y2=（2y）2，
解得：y=，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ODP∽△PCA，
∴OD：PC=DP：CA，
∴8：y=y：AC，
則AC=，
∴AB=8-，
∵OB=2y=，
∴tan∠AOB= ，

∴∠AOB=30°

（2）∵D（0，8），

∴OD=BC=8，

∵OD=2CP，

∴CP=4，

設(shè)OB=OP=DC=x，則DP=x﹣4，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：8/span>2+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：4=（x﹣4）：AC，

則AC==3，∴AB=5，

∴點A（10，5）；

（3）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖，

∵AP=AB，MQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

由（2）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= ，

∴EF=PB=2，

∴在（2）的條件下，當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2．