【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.
(1)求證：∠DFA＝∠ECD；
(2)△ADF與△DEC相似嗎？為什么？
(3)若AB＝4，AD＝3
，AE＝3，求AF的長．
【答案】（1）詳見解析；（2）△ADF∽△DEC，理由詳見解析；（3）AF＝2
.
【解析】
（1）因為∠AFE＝∠B，平行四邊形的鄰角互補可得：∠B+∠ECD=180°；，等角的補角相等，所以∠AFE的領補角∠DFA=∠ECD；
（2）根據兩角對應相等的兩個三角形相似證明；
(3) 由平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，AB=4，AD=3
，AE=3，由勾股定理可求得DE的長，又由∠AFE=∠B，易證得△ADF∽△DEC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
(1)證明：∵∠AFE∠DFA＝180°，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B+∠ECD＝180°，又∵∠B＝∠AFE，∴∠DFA＝∠ECD.
(2)解：△ADF∽△DEC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
(3)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝
＝
=6 ，∵△ADF∽△DEC，∴
＝
，∴
＝
，AF＝2 .
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀材料，解答問題.
例：用圖象法解一元二次不等式：
解：設
，則
是
的二次函數.∵
，
∴拋物線開口向上.
又∵當
時，
，解得
，
.
∴由此得拋物線的大致圖象如圖所示.
觀察函數圖象可知：當
或
時，
.
∴的解集是：或.
（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：
的解集是______；
（2）仿照材料、用圖象法解一元二次不等式：
.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，反比例函數y＝
（x＜0）的圖象經過點A（﹣2，2），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點P（0，t），過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，點B經軸對稱變換得到的點B'在此反比例函數的圖象上，則t的值是（ �。�
A. 1+
B. 4+
C. 4
D. -1+
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【題目】2019年4月23日是第二十四個“世界讀書日“．某校組織讀書征文比賽活動，評選出一、二、三等獎若干名，并繪成如圖所示的條形統計圖和扇形統計圖（不完整），請你根據圖中信息解答下列問題：
（1）求本次比賽獲獎的總人數，并補全條形統計圖；
（2）求扇形統計圖中“二等獎”所對應扇形的圓心角度數；
（3）學校從甲、乙、丙、丁4位一等獎獲得者中隨機抽取2人參加“世界讀書日”宣傳活動，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
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【題目】聊城流傳著一首家喻戶曉的民謠：“東昌府，有三寶，鐵塔、古樓、玉皇皋．”被人們譽為三寶之一的鐵塔，初建年代在北宋早期，是本市現存最古老的建筑．如圖，測繪師在離鐵塔10米處的點C測得塔頂A的仰角為α，他又在離鐵塔25米處的點D測得塔頂A的仰角為β，若tanαtanβ＝1，點D，C，B在同一條直線上，那么測繪師測得鐵塔的高度約為(參考數據： 
≈3.162)( )
A. 15.81米 B. 16.81米 C. 30.62米 D. 31.62米
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等邊
的邊
在
軸正半軸上，點
，
，點
、
分別從
、
出發(fā)以相同的速度向、
運動，連接
、
交于點
，
是
軸上一點，則
的最小值為______.
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【題目】如圖，正方形ABCD中，AD＝4，E在AB上且AB＝4BE，連接CE，作BF⊥CE于F，正方形對角線交于O點，連接OF，將△COF沿CE翻折得△CGF，連接BG，則BG的長為_____．
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過點O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED為⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為
，ED=2，延長EO交⊙O于F，連接DF、AF，求△ADF的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）首先連接OD，由OE∥AB，根據平行線與等腰三角形的性質，易證得
≌
即可得
，則可證得
為
的切線；
（2）連接CD，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得
利用勾股定理即可求得
的長，又由OE∥AB，證得
根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得
的長，然后利用三角函數的知識，求得
與
的長，然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．
試題解析：(1)證明：連接OD，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠CAD，∠EOD=∠ODA，
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，
∴△COE≌△DOE(SAS)，
∴ED⊥OD，
∴ED是的切線；
(2)連接CD，交OE于M，
在Rt△ODE中，
∵OD=32，DE=2，
∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴AB=5，
∵AC是直徑，
∵EF∥AB，
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】【題目】已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個公共點M（1，0），且a＜b．
（1）求b與a的關系式和拋物線的頂點D坐標（用a的代數式表示）；
（2）直線與拋物線的另外一個交點記為N，求△DMN的面積與a的關系式；
（3）a=﹣1時，直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G，點G、H關于原點對稱，現將線段GH沿y軸向上平移t個單位（t＞0），若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求t的取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y＝
x2+bx+c經過B點，且頂點在直線y＝
上．
(1)求拋物線對應的函數關系式；
(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由．
(3)在(2)的條件下，若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設點M的橫坐標為t，MN的長度為s，求s與t之間的函數關系式，寫出自變量t的取值范圍，并求s取大值時，點M的坐標．
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