Question

【題目】如圖1，△ABC內(nèi)接于，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，且與點(diǎn)C位于AB的異側(cè)，CD交AB于點(diǎn)E.

（1）求證：△ADE∽△CDA

（2）如圖2，若的直徑AB，CE=2，求AD和CD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），.

【解析】

（1）根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”證角相等，進(jìn)而可證三角形相似；

（2）連接BD，先證三角形ADB為等腰直角三角形，求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)（1）中的相似三角形得出比例式求解即可.

（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，

∴

∴∠ACD=∠BAD

∵∠ADE=∠CDA

∴△ADE∽△CDA

（2）連結(jié)BD，

∵點(diǎn)D時(shí)的中點(diǎn)，

∴AD=BD

∵AB是的直徑，

∴∠ADB=90°

∴△ADB為等腰直角三角形，

∴，

由（1）得△ADE∽△CDA

∴，即，

∴，

∴，

解得CD=8或-6（負(fù)值舍去）

∴CD=8.