Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)邊長(zhǎng)為3正方形OABC的頂點(diǎn)B，點(diǎn)P（m，n）為該函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S（即圖中陰影部分的面積）．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，求n和S的值；
（3）求S關(guān)于m的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由題意可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，3），將其代入y=

k

x

中，得出函數(shù)解析式即可；
（2）把（4，n）代入y=

9

x

，求出N的值即可，再利用S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN進(jìn)而求出即可；
（3）利用當(dāng)0＜m＜3時(shí)，S=S_矩形PFCN+S_矩形BNEA，當(dāng)m＞3時(shí)，S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN，分別求出即可．

解答：解：（1）由題意可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，3），將其代入y=

k

x

中，得：
3=

k

3

，
解得：k=9；

（2）由（1）知反比例函數(shù)的解析式為y=

9

x

，把（4，n）
代入，得n=

9

4

，
如圖1，則S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN=3×（3-

9

4

）+（4-3）×

9

4

=4.5；



（3）分兩種情況：∵點(diǎn)P（m，n）為該函數(shù)y=

9

x

圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴n=

9

m

，
如圖2，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，S=S_矩形PFCN+S_矩形BNEA
=PF•FC+AB•BN
=m（

9

m

-3）+3×（3-m）
=18-6m，
如圖1，當(dāng)m＞3時(shí)，S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN
=BC•BN+PE•AE
=3×（3-

9

m

）+

9

m

（m-3）
=18-

54

m

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比函數(shù)的綜合應(yīng)用以及矩形面積求法等知識(shí)，正確利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．