Question

如圖，△ABC中，AB=2，BC=2

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，AC=4，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處，且FD⊥BC．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳C²=AB²+BC²，根據(jù)勾股定理和逆定理知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，由折疊的性質(zhì)知，AF=DF，∠AFE=∠DFE=（180°-∠DFC）÷2=60°，則EF是等腰三角形△AFD的頂角的平分線，也是△AFD的底邊上的高所在的直線，∴EF⊥AD，所以∠FAD=∠FDA=30°，所以∠DAB=30°，由ADcos30°=AB，而求得AD的值．
（2）由（1）知，先證AEDF是平行四邊形，再證AF=FD，所以四邊形AEDF是菱形．

解答：解：（1）因?yàn)锳B=2，BC=2

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，AC=4，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
又∵AC=2AB，
∴∠C=30°，∠BAC=60°
由FD⊥BC，得∠DFC=60°，
又∵AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=30°，
∴∠DAB=30°，
∴ADcos30°=AB，得AD=

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．

（2）四邊形AEDF是菱形．
證明：∵AB⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，
∴AE∥FD，
∵∠BAC=60°，
∴∠AFD=120°，
∵∠DAF=30°，AF=DF，
∴∠ADF=30°，
∴∠EAD=∠ADE=30°，
∴∠EDF=60°，
∴AF∥ED，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AF=DF，
∴平行四邊形AEDF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了：
1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；
2、勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)求解．