Question

已知：⊙O₁與⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)B作CD⊥AB，分別交⊙O₁和⊙O₂于點(diǎn)C、D．
（1）如圖，求證：AC是⊙O₁的直徑；
（2）若AC=AD，
①如圖，連接BO₂、O₁O₂，求證：四邊形O₁C BO₂是平行四邊形；
②若點(diǎn)O₁在⊙O₂外，延長(zhǎng)O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)M，在劣弧上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），EB的延長(zhǎng)線交優(yōu)弧于點(diǎn)F，如圖所示，連接AE、AF，則AE______AB（請(qǐng)?jiān)跈M線上填上“≥、≤、＜、＞”這四個(gè)不等號(hào)中的一個(gè)）并加以證明．（友情提示：結(jié)論要填在答題卡相應(yīng)的位置上）

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴AC是⊙O₁的直徑．

（2）①證明：∵CD⊥AB，
∴∠ABD=90°．
∴AD是⊙O₂的直徑．
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．
∵O₁、O₂分別是AC、AD的中點(diǎn)，
∴O₁O₂∥CD且O₁O₂=CD=CB．
∴四邊形O₁CBO₂是平行四邊形．
②解：AE＞AB，
當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上（不與點(diǎn)C重合）時(shí)，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB．
∴AE=AF．
記AF交BD為G，
∵AB⊥CD，
∴AF＞AG＞AB．
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE=AC＞AB，
當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，設(shè)AE交CD與H，
AE＞AH＞AB．
綜上，AE＞AB．
分析：（1）由CD⊥AB易得AC是⊙O₁的直徑（圓內(nèi)直角所對(duì)的弦是直徑）；
（2）根據(jù)中位線定理求得O₁O₂∥CD且O₁O₂=CD=CB，所以四邊形O₁CBO₂是平行四邊形；
（3）可分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上（不與點(diǎn)C重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，證得AE＞AB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩圓的位置關(guān)系，是一個(gè)探究性性的題目，一定要分析各種情況，不要落漏．