Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；

（3）利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，

將點(diǎn)C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴AC＝，

設(shè)點(diǎn)E（0，m），則AE＝，CE＝|m+3|，

∵△ACE是等腰三角形，

∴①當(dāng)AC＝AE時(shí)，＝，

∴m＝3或m＝﹣3（點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，舍去），

∴E（3，0），

②當(dāng)AC＝CE時(shí)，＝|m+3|，

∴m＝﹣3±，

∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），

③當(dāng)AE＝CE時(shí)，＝|m+3|，

∴m＝﹣，

∴E（0，﹣），

即滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），

∴將線段BD向上平移4個(gè)單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，這樣便存在點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，

設(shè)Q（t，4），

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，

∴t＝1+2或t＝1﹣2，

∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），

分別過(guò)點(diǎn)D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，

即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．