Question

如圖，E為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，且BE=BC，點(diǎn)F在CD上，且EF⊥BD．
求證：DE=CF．

Answer 1

分析：利用“HL”證明Rt△BEF和Rt△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=CF，再根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角求出∠BDF=45°，然后求出∠DFE=45°，從而得到∠BDF=∠DFE，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得DE=EF，從而得證．

解答：證明：在正方形ABCD中，∠C=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∴∠C=∠BEF=90°，
在Rt△BEF和Rt△BCF中，

BF=BF BE=BC

，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=CF，
∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，
∴∠BDF=45°，
∴∠DFE=90°-45°=45°，
∴∠BDF=∠DFE，
∴DE=EF，
∴DE=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，證明得到Rt△BEF和Rt△BCF全等是解題的關(guān)鍵．