Question

【題目】如圖①，△ABC中，∠B、∠C平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.

（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系并說明理由

（2）如圖②，若△ABC中∠B的平分線BE與三角形外角∠ACD平分線CE交于E，且AE∥BC,AE=13，BC=24.求四邊形ABCE周長和面積.

Answer 1

【答案】(1) EF=BE+CF，理由見解析；（2）周長50+ ；面積為92.5.

【解析】

(1)由BO平分∠ABC,則∠OBE=∠OBC,再根據(jù)EF∥BC，說明∠OBC=∠EOB.得到∠EOB=∠OBE,得到BE=OE;同理：OF=FC；可得EF=BE+FC;

解：（1）EF=BE+CF,理由如下：

∵BO平分∠ABC,

∴∠OBE=∠OBC

又∵EF∥BC

∴∠OBC=∠EOB.

∴∠EOB=∠OBE

∴BE=OE;

同理：OF=FC；

∴EF=OE+OF=BE+FC

（2）

分別過A,C作HA⊥BC,CG⊥AE

∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠EBC

又∵AE∥BC

∴∠AEB=∠EBC.

∴∠AEB=∠ABE

∴AB=AE=13;

同理：AE=AC=13

∵AE=AC=13，AH⊥BC,BC=24

∴BH=HC=BC=12

∴AH=

∵AE∥BC,AH∥CG

∴四邊形AHCG是平行四邊形

∴AG=HC=12，CG=AH=5

∴GF=AE-AG=1

∴CE=

∴四邊形ABCE的周長為：AB+AE+BC+CE=13+13+24+=50+

四邊形ABCE的面積為： =92.5.