Question

如圖，已知點(diǎn)A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過(guò)B作⊙A的切線(xiàn)l．
（1）以直線(xiàn)l為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，9），求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過(guò)D作⊙A的切線(xiàn)DE，E為切點(diǎn)，求此切線(xiàn)長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)F是切線(xiàn)DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BFD與EAD△相似時(shí)，求出BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線(xiàn)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切線(xiàn)，連接AE，那么根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圓的半徑，即AE=OA=AB=3，而A、D關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，即AB=BD=3，由此可得到AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可利用勾股定理求得切線(xiàn)DE的長(zhǎng)．
（3）若△BFD與EAD△相似，則有兩種情況需要考慮：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根據(jù)不同的相似三角形所得不同的比例線(xiàn)段即可求得BF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-6）²+k；
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）和C（0，9），
∴

9a+k=0 36a+k=9

，
解得：a=

1

3

，k=-3，
∴y=

1

3

(x-6)2-3．

（2）連接AE；
∵DE是⊙A的切線(xiàn)，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)A，D是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，
∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=6²-3²=27，
∴DE=3

3

．

（3）當(dāng)BF⊥ED時(shí)；
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴

AE

BF

=

AD

BD

，
即

3

BF

=

6

3

，
∴BF=

3

2

；
當(dāng)FB⊥AD時(shí)，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴

AE

BF

=

ED

BD

，
即BF=

3×3

3 3

=

3

；
∴BF的長(zhǎng)為

3

2

或

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線(xiàn)的性質(zhì)、二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)等重要知識(shí)；需要注意的是，當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確的情況下，一定要分類(lèi)討論，以免漏解．