Question

【題目】如圖，∠A=∠B=50°，P為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AC上（不與點(diǎn)A重合）的任意點(diǎn)，連接MP，并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N，設(shè)∠BPN=α．

（1）求證：△APM≌△BPN；

（2）當(dāng)MN=2BN時(shí)，求α的度數(shù)；

（3）若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．

【解析】（1）根據(jù)AAS即可證明△APM≌△BPN；

（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等邊對(duì)等角可得結(jié)論；

（3）三角形的外心是外接圓的圓心，三邊垂直平分線的交點(diǎn)，直角三角形的外心在直角頂點(diǎn)上，鈍角三角形的外心在三角形的外部，只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，所以根據(jù)題中的要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．

（1）∵P是AB的中點(diǎn)，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

，

∴△APM≌△BPN；

（2）由（1）得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

（3）∵△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，

∴△BPN是銳角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．