Question

已知正方形ABCD．
（1）如圖1，E是AD上一點(diǎn)，過(guò)BE上一點(diǎn)O作BE的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，求證：BE=GH；
（2）如圖2，過(guò)正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AB，CD于點(diǎn)G，H，EF與GH相等嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在正方形ABCD的邊上或外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線(xiàn)，被正方形相對(duì)的兩邊（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）截得的兩條線(xiàn)段還相等嗎？其中一種情形如圖3所示，過(guò)正方形ABCD外一點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線(xiàn)m，n，m與AD，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，n與AB，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)G，H，試就該圖形對(duì)你的結(jié)論加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)證明，過(guò)點(diǎn)A作GH的平行線(xiàn)，交DC于點(diǎn)H′，交BE于點(diǎn)O′．那么GH=AH′，要證明GH=BE只要證明三角形AH′D和三角形AEB全等即可．這兩個(gè)三角形中已知的條件有AD=AB，有一組直角，只要再求出一組對(duì)應(yīng)角相等即可得出全等的結(jié)論，我們發(fā)現(xiàn)∠EAO′和∠ABE同為∠BEA的余角，因此∠EAO′=∠ABE，由此就構(gòu)成了全等三角形判定中的ASA，所以?xún)扇�角形全等，那么就能得出BE=AH′=GH了；
（2）應(yīng)該相等，作法同（1），只不過(guò)要作兩條輔助線(xiàn)，即過(guò)D作GH的平行線(xiàn)和過(guò)C作EF的平行線(xiàn)，證法和思路與（1）完全一樣，因此結(jié)果也一樣．
（3）也要通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)證明，過(guò)點(diǎn)A作m的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)F′，過(guò)點(diǎn)D作n的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)G′．因此四邊形AF′FE是個(gè)平行四邊形，那么AF′=EF，同理GH=G′D，那么只要證明三角形AG′D和三角形ABF′全等即可，證明的過(guò)程和思路與（1）（2）都是一樣的．得出兩三角形全等后，自然EF=GH了．

解答：（1）證明：在圖1中，過(guò)點(diǎn)A作GH的平行線(xiàn)，交DC于點(diǎn)H′，交BE于點(diǎn)O'．
∵ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE．
∴∠H′AD+∠BEA=90°．
∴∠BEA=∠AH′D．
在△BAE和△ADH′中，

∠BAE=∠D ∠BEA=∠AH′D BA=AD

，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE=AH′=GH；

（2）解：EF=GH，理由如下：
過(guò)E作EM⊥BC，過(guò)G作GN⊥CD，
∴∠EMF=∠GNH=90°，
又GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，
∴∠MEF+∠EQG=90°，∠NGH+∠EQG=90°，
∴∠MEF=∠NGH，又GN=EM，
∴△EMF≌△GNH，
∴EF=GH；

（3）解：相等．
證明：在圖3中，過(guò)點(diǎn)A作m的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)F′，過(guò)點(diǎn)D作n的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)G′．
則有EF=AF′，G′D=GH，
由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′，
∴AF′=DG′．
從而可證明EF=GH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，本題中利用構(gòu)建全等三角形來(lái)證明線(xiàn)段相等是解題的基本思想．