Question

（1）如圖1，過(guò)正方形ABCD內(nèi)部任意一點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交AB、CD于點(diǎn)G、H，證明：EF=GH；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在正方形ABCD的邊上或外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對(duì)的兩邊（或它們的延長(zhǎng)線）截得的兩條線段還相等嗎？圖2是其中一種情形，試就該圖形對(duì)你的結(jié)論加以證明．

Answer 1

解：（1）過(guò)E作EK⊥BC于K，過(guò)H作HT⊥AB于T，
在△EKF和△HTG中，EK=HT=BC=AD，
∠HTG=∠EKF=90°，∠THG=∠KEF，
∴△EKF≌△HTG，
∴EF=GH．

（2）EF=GH．
過(guò)正方形內(nèi)任意一點(diǎn)P作m、n的平行線，
∴GH=QR，EF=MN，
QK⊥CD，MT⊥BC，
在△QRK和△MNT中，MT=QK，
∠MTN=∠QKR，∠TMN=∠KQR，
∴△QRK≌△MNT，∴QR=MN，
即EF=GH．
分析：（1）過(guò)E作EK⊥BC于K，過(guò)H作HT⊥AB于T，證明△EKF≌△HTG即可；
（2）過(guò)正方形內(nèi)任意一點(diǎn)P作m、n的平行線，利用（1）的結(jié)論即可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形四邊相等，且各內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明；本題中構(gòu)建全等三角形并且證明其全等是解本題的關(guān)鍵．