Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC為直徑作⊙O，交AC于D，E為 的中點，連接CE，BE，BE交AC于F．
（1）求證：AB=AF；
（2）若AB=3，BC=4，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E為 的中點，

∴ ，

∴∠DCE=∠CBE，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CEF=90°，

∴∠AFB=∠EFC=90°﹣∠DCE，

又∵∠ABF=∠ABC﹣∠CBE=90°﹣∠CBE，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF；

（2）解：連接BD，如圖所示：

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，

∵∠ABC=90°，

∴AC= = =5，

∵∠ADB=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 ，

解得：AD= ，BD= ，

∵AF=AB=3，

∴CF=AC﹣AF=2，DF=AF﹣AD=3﹣ = ，

∴BF= = ，

∵∠BDF=∠CEF，∠DFB=∠EFC，

∴△BDF∽△CEF，

∴ ，即 ，

解得：CE= ．

【解析】（1）由已知條件得出 ，由圓周角定理得出∠DCE=∠CBE，∠CEF=90°，得出∠AFB=∠EFC=90°﹣∠DCE，證出∠ABF=∠AFB，即可得出結論；（2）連接BD，由勾股定理求出AC=5，證明△ABD∽△ACB，得出對應邊成比例求出AD= ，BD= ，由AF=AB=3，得出CF=AC﹣AF=2，DF=AF﹣AD= ，由勾股定理求出BF，再證明△BDF∽△CEF，得出對應邊成比例，即可得出結果．
【考點精析】通過靈活運用圓周角定理和相似三角形的判定與性質，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．