Question

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于$\frac{1}{2}$MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　　）
①AD平分∠BAC；
②作圖依據(jù)是SAS；
③∠ADC=60°；  
④點D在AB的垂直平分線上．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②根據(jù)作圖的過程可以判定作出AD的依據(jù)；
③利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；
④利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點D在AB的中垂線上．

解答 解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；

②根據(jù)作圖的過程可知，作出AD的依據(jù)是SSS；
故②錯誤；

③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故③正確；

④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上．
故④正確；
故選：C．

點評 此題主要考查的是作圖-基本作圖，涉及到角平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)，熟練根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ADC度數(shù)是解題關鍵．