Question

已知：如圖，M、N分別是▱ABCD的對(duì)邊中點(diǎn)，且AD=2AB，求證：PMQN為矩形．

Answer 1

【考點(diǎn)】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】連接MN．由于四邊形ABCD是平行四邊形，那么AD平行且等于BC，而M、N是AD、BC的中點(diǎn)，從而可證DM平行且等于BN，于是可證四邊形BNDM是平行四邊形，則BM∥DN，同理可證AN∥CM，那么可證四邊形PNQM是平行四邊形，由于AM平行等于BN，且AB=BN=BC，則可知四邊形ABNM是菱形，利用菱形的性質(zhì)，可知AN⊥BM，即∠MPN=90°，那么平行四邊形PNQM是矩形．

【解答】證明：連接MN，如圖所示：

∵ABCD為平行四邊形，

∴AD平行且等于BC，

又∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，

∴MD平行且等于BN，

∴BNDM為平行四邊形，

∴BM∥ND，

同理AN∥MC，

∴四邊形PMQN為平行四邊形，

連接MN，

∵AM平行且等于BN，

∴四邊形ABNM為平行四邊形，

又∵AD=2AB，M為AD中點(diǎn)，

∴BN=AB，

∴四邊形ABNM為菱形，

∴AN⊥BM，

∴平行四邊形PMQN為矩形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出AN⊥BM是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．