Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）將△ABD向左平移3個(gè)單位，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（-

3

2

，0）

；
（2）若點(diǎn)E在雙曲線y=

k

x

上，則k的值為

-3

，直線OE與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)F的坐標(biāo)是

（

3

2

，-2）

；
（3）若在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)PB+PF的值最小？求出此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)可得到點(diǎn)D坐標(biāo)為（

3

2

，2），再利用平移的性質(zhì)即可得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

-3，2）；
（2）把E（-

3

2

，2）代入y=

k

x

即可得到k=-3，然后根據(jù)正比例函數(shù)圖象與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3

2

，-2）；
（3）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連BF′交y軸于點(diǎn)P，則PF=PF′，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)點(diǎn)P使PB+PF的值最小，再利用關(guān)于y軸對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)得到點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（-

3

2

，-2），然后利用待定系數(shù)法可確定直線BF的解析式y(tǒng)=

8

9

x-

2

3

，則得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

2

3

）．

解答：解：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（

3

2

，2），
當(dāng)將△ABD向左平移3個(gè)單位，即點(diǎn)D向左平移3個(gè)單位，
∴點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

-3，2），即E（-

3

2

，2）；

（2）把E（-

3

2

，2）代入y=

k

x

得k=-

3

2

×2=-3
∵直線OE為正比例函數(shù)圖象，
∴直線OE與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3

2

，-2）．
故答案為（-

3

2

，2）；-3，（

3

2

，-2）；

（3）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連BF′交y軸于點(diǎn)P，如圖，
則PF=PF′，
∴PB+PF=PB+PF′=BF′
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴此時(shí)點(diǎn)P使PB+PF的值最小，
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3

2

，-2）；
∴點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（-

3

2

，-2），
設(shè)直線BF′的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（3，2）、F′（-

3

2

，-2）代入得

3k+b=2 - 3 2 k+b=-2

，
解得

k= 8 9 b=- 2 3

，
∴直線BF的解析式y(tǒng)=

8

9

x-

2

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

2

3

，）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：理解反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)、平移的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短．