Question

拋物線與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，-3），拋物線頂點為M，連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q，且點Q到x軸的距離為6．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，求出點D的坐標；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得S_△PAM=3S_△ACM？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線AC的解析式為y=kx-3，把已知坐標代入可解k的值．
（2）依題意得出∠ACO=∠ANC，然后求出ON的值以及直線CN的解析式．最后可求出x，y的值．
（3）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，依題意，得AE，EM，AM的值．設P（1，m），分情況討論P的坐標．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx-3，
把A（-1，0）代入得k=-3
∴直線AC的解析式為y=-3x-3
依題意知，點Q的縱坐標是-6
把y=-6代入y=-3x-3中，
解得x=1
∴點Q（1，-6）
∵點Q在拋物線的對稱軸上
∴拋物線的對稱軸為直線x=1
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+n
由題意，
得

4a+n=0 a+n=-3

解得

a=1 n=-4

∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4．

（2）如圖1，過點C作AC的垂線交拋物線于點
交x軸于點N，則∠ACO=∠ANC
∴tan∠ANC=tan∠ACO
∴

OC

ON

=

OA

OC

∵OA=1，OC=3
∴ON=9
∴點N的坐標為（9，0）
可求得直線CN的解析式為y=

1

3

x-3
由

y= 1 3 x-3 y=(x-1)2-4

解得

x= 7 3 y=- 20 9

即點D的坐標為（

7

3

，-

20

9

）．

（3）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，依題意，得
AE=2，EM=4，AM=2

5

∵S_△ACM=S_△AOC+S_梯形OCME-S_△AME=1
且S△PAM=

1

2

PM×AE=PM
又S_△PAM=3S_△ACM
∴PM=3
設P（1，m）
①當點P在點M上方時，PM=m+4=3
∴m=-1
∴P（1，-1）
②當點P在點M下方時，PM=-4-m=3
∴m=-7
∴P（1，-7）
綜上所述，點P的坐標為P₁（1，-1），P₂（1，-7）．

點評：本題難度較大，考查的是二次函數(shù)圖象與解析式的靈活運用，一般這樣題目都是作為壓軸題出現(xiàn)，考生平時應多積累二次函數(shù)的綜合知識．