Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A在B的左側(cè)，A坐標(biāo)為（-1，0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3）△ABC的面積為6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與直線BC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，請你求出BN的長度；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D在線段BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易知OC的長，根據(jù)△ABC的面積即可得到AB的值，從而求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，在得到A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)后，即可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式．
（2）已知了B、C的坐標(biāo)，易求得BC的長和直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線的對稱軸即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求得BM的長，可設(shè)出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，若以M，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，由于∠CBA=∠MBN，則有兩種情況需要考慮：①△MBN∽△CBA，②△MBN∽△ABC；根據(jù)上述兩種情況所得不同的比例線段即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出BN的長．
（3）首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后分三種情況討論：
①PC=PD，根據(jù)P、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出PC²、PD²的值，由于兩式相等，即可求得P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②PD=CD，此時(shí)C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則P點(diǎn)坐標(biāo)易求得；
③PC=CD，這種情況下，P點(diǎn)只能位于C點(diǎn)左側(cè)的拋物線上，顯然與題意不符．

解答：解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
又∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=6，
∴AB=4；
∵A為（-1，0），
∴B為（3，0），
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-3）
將C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x²+2x+3．

（2）拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
由B（3，0），C（0，3），得直線BC解析式為：y=-x+3；
∵對稱軸x=1與直線BC：y=-x+3相交于點(diǎn)M，
∴M為（1，2）；
可直接設(shè)BN的長為未知數(shù)．
設(shè)N（t，0），當(dāng)△MNB∽△ACB時(shí)，
∴

BN

BC

=

MB

AB

即

3-t

3 2

=

2 2

4

即t=0，
∵△MNB∽△CAB時(shí)，∴

BN

AB

=

MB

CB

?

3-t

4

=

2 2

3 2

得t=

1

3

，
所以BN的長為3或

8

3

．

（3）存在．由y=-x²+2x+3得，拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，頂點(diǎn)D為（1，4）；
①當(dāng)PD=PC時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)勾股定理，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²即y=4-x，
又P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x=

3± 5

2

；
∴y=4-x=

5- 5

2

或

5+ 5

2

即點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）；
②當(dāng)CD=PD時(shí)，即P，C關(guān)于對稱軸對稱，
此時(shí)P的縱坐標(biāo)為3，即3=-x²+2x+3，
解得x₁=2，x₂=0（舍去），
∴P為（2，3）；
③當(dāng)PC=CD時(shí)，P只能在C點(diǎn)左邊的拋物線上，所以不考慮；
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3- 5

2

，

5+ 5

2

），（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形面積的計(jì)算方法、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、相似三角形的判定和性質(zhì)、以及等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識點(diǎn)，要注意的是（2）（3）中都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，所以考慮問題一定要全面，以免漏解．