Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1分別交y軸、x軸于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD過點(diǎn)A，D，C的拋物線y=ax²+bx+1與直線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)E
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；點(diǎn)D的坐標(biāo)為

 

．并求出拋物線的解析式；
（2）若正方形以每秒

5

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線上C，E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)，可直接求出C，D的坐標(biāo)，然后可求出拋物線解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)問題的解決應(yīng)找到特殊分界點(diǎn)進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，t=1，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸t=2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=3，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，分別得出函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)陰影部分比較特殊，可以轉(zhuǎn)化為矩形的面積，從而求出．

解答：解：（1）∵A在y軸上，B在x軸上，則
A（0，1），B（2，0）
C（3，2），D（1，3）
過點(diǎn)A，D，C的拋物線：y=-

5

6

x²+

17

6

x+1
與直線交點(diǎn)為A（0，1），E（4，-1）
所以點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，-1）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t=1，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，
∵∠OBA=∠GBB′，
tan∠OBA=

OA

OB

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

BB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t，
∴S_△BB′G=

1

2

BB′×GB′=

1

2

×

5

t×

5

2

t=

5

4

t²；
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸t=2，
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，
A′B′=AB=

2 2+12

=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5

2

t，
∴S_{梯形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）×A′B′，
=

1

2

（

5 t- 5

2

+

5

2

t）×

5

，
=

5

2

t-

5

4

；
③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=3，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，
∵A′G=

5 t- 5

2

，∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×1×2=1，OA=1，
∵△AOF∽△GD′H，
∴

S △GDH

S △AOF

=（

GD′

OA

）²，
∴S_△GD′H=（

3 5 - 5 t

2

）²，
∴S_{五邊形GA′B′C′H}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

）²=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

；

（3）∵t=3，BB′=AA′=3

5

，
∴S_陰影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}=AD×AA′=

5

×3

5

=15．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)解析式的求法，以及動(dòng)點(diǎn)問題，動(dòng)點(diǎn)問題的解決關(guān)鍵是找到特殊分界點(diǎn)，進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵，此題綜合性較強(qiáng)，分析過程中必須細(xì)心．