Question

如圖，ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．
（1）求證：△ABD是正三角形；
（2）求AC的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）菱形的邊AB=AD，即已知兩邊相等，再尋找一個(gè)角為60°，即可證明△ABD是正三角形；
（2）先求OC的長(zhǎng)，再求AC．

解答：（1）證明：∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．（1分）
∵∠BAD與∠BCD是菱形的一組對(duì)角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）
∵AB、AD是菱形的兩條邊，
∴AB=AD．（3分）
∴△ABD是正三角形．（4分）

（2）解：∵O為菱形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴AC=2OC，OD=

1

2

BD=3，∠COD=90°．（5分）
在Rt△COD中，

OD

OC

=tan∠OCD=tan30°，
∴OC=

OD

tan30°

=

3

3 3

=3

3

．（6分）
∴AC=2OC=6

3

．
答：AC的長(zhǎng)為6

3

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定．