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        1. (2012•蘇州)如圖,已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為C,PC與⊙O交于點(diǎn)D,連接PA、PB,設(shè)PC的長為x(2<x<4).
          (1)當(dāng)x=
          52
          時(shí),求弦PA、PB的長度;
          (2)當(dāng)x為何值時(shí),PD•CD的值最大?最大值是多少?
          分析:(1)由直線l與圓相切于點(diǎn)A,且AB為圓的直徑,根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l,又PC垂直于直線l,根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行,得到AB與PC平行,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,再由一對(duì)直角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△PCA與△PAB相似,由相似得比例,將PC及直徑AB的長代入求出PA的長,在直角三角形PAB中,由AB及PA的長,利用勾股定理即可求出PB的長;
          (2)過O作OE垂直于PD,與PD交于點(diǎn)E,由垂徑定理得到E為PD的中點(diǎn),再由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形,根據(jù)矩形的對(duì)邊相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的長表示出PE,根據(jù)PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù),配方后根據(jù)自變量x的范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時(shí)x的取值.
          解答:解:(1)∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A,且AB為⊙O的直徑,
          ∴AB⊥l,又∵PC⊥l,
          ∴AB∥PC,
          ∴∠CPA=∠PAB,
          ∵AB是⊙O的直徑,
          ∴∠APB=90°,又PC⊥l,
          ∴∠PCA=∠APB=90°,
          ∴△PCA∽△APB,
          PC
          AP
          =
          PA
          AB
          ,即PA2=PC•AB,
          ∵PC=
          5
          2
          ,AB=4,
          ∴PA=
          5
          2
          ×4
          =
          10

          ∴Rt△APB中,AB=4,PA=
          10

          由勾股定理得:PB=
          16-10
          =
          6
          ;

          (2)過O作OE⊥PD,垂足為E,
          ∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,
          ∴PE=ED,
          又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°,
          ∴四邊形OACE為矩形,
          ∴CE=OA=2,又PC=x,
          ∴PE=ED=PC-CE=x-2,
          ∴PD=2(x-2),
          ∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,
          ∴PD•CD=2(x-2)•(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2,
          ∵2<x<4,
          ∴當(dāng)x=3時(shí),PD•CD的值最大,最大值是2.
          點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的性質(zhì),平行線的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),垂徑定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),以及二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•蘇州)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,則四邊形CODE的周長( 。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•蘇州)如圖,正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合,將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng),移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,在移動(dòng)過程中,邊AD始終與邊FG重合,連接CG,過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P,連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm,矩形EFGH的邊FG,GH的長分別為4cm,3cm,設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x(s),線段GP的長為y(cm),其中0≤x≤2.5.
          (1)試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值;
          (2)記△DGP的面積為S1,△CDG的面積為S2.試說明S1-S2是常數(shù);
          (3)當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí),求線段PD的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•蘇州)如圖,已知拋物線y=
          1
          4
          x2-
          1
          4
          (b+1)x+
          b
          4
          (b是實(shí)數(shù)且b>2)與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.
          (1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為
          (b,0)
          (b,0)
          ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為
          (0,
          b
          4
          (0,
          b
          4
          (用含b的代數(shù)式表示);
          (2)請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
          (3)請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可作相似的特殊情況)?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•蘇州)如圖,已知斜坡AB長60米,坡角(即∠BAC)為30°,BC⊥AC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE.(請將下面2小題的結(jié)果都精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):
          3
          ≈1.732).
          (1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,則平臺(tái)DE的長最多為
          11.0
          11.0
          米;
          (2)一座建筑物GH距離坡角A點(diǎn)27米遠(yuǎn)(即AG=27米),小明在D點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點(diǎn)B、C、A、G、H在同一個(gè)平面內(nèi),點(diǎn)C、A、G在同一條直線上,且HG⊥CG,問建筑物GH高為多少米?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•蘇州)如圖,已知BD是⊙O的直徑,點(diǎn)A、C在⊙O上,
          AB
          =
          BC
          ,∠AOB=60°,則∠BDC的度數(shù)是( 。

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          同步練習(xí)冊答案