Question

（2012•蘇州）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關于x的函數(shù)關系式，并求當y=3時相應x的值；
（2）記△DGP的面積為S₁，△CDG的面積為S₂．試說明S₁-S₂是常數(shù)；
（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應邊成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y與x的關系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．
（3）延長PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．

解答：解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴

CD

GD

=

PG

AG

，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴

1

3-x

=

y

4-x

，即y=

4-x

3-x

，
∴y關于x的函數(shù)關系式為y=

4-x

3-x

，
當y=3時，

4-x

3-x

=3，解得x=2.5，
經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根．
故x的值為2.5；

（2）∵S₁=

1

2

GP•GD=

1

2

•

4-x

3-x

•（3-x）=

4-x

2

（cm²），
S₂=

1

2

GD•CD=

1

2

（3-x）×1=

3-x

2

（cm²），
∴S₁-S₂=

4-x

2

-

3-x

2

=

1

2

（cm²），即為常數(shù)；

（3）延長PD交AC于點Q．
∵正方形ABCD中，AC為對角線，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，
∴3-x=

4-x

3-x

，
化簡得：x²-5x+5=0．
解得：x=

5± 5

2

，
∵0≤x≤2.5，
∴x=

5- 5

2

，
在Rt△DGP中，PD=

GD

cos45°

=

2

（3-x）=

2 + 10

2

（cm）．

點評：此題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是用移動的時間表示出有關線段的長度，然后運用所學知識進行求解．