Question

【題目】如圖①、②，在平面直角坐標(biāo)系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點(diǎn)G（G點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．

（1）求C′點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過O、A、C′三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點(diǎn)作⊙G的切線與x軸相交于點(diǎn)F，求切線BF的解析式；

（4）在（3）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) C′（3，）(2) y=x2﹣x (3) y=x+（4）存在

【解析】分析：（1）作C′H⊥x軸，如圖②，利用等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，則∠C′AH=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出AH=1，C′H=，從而得到C′點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣2），然后把C′點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可

（3）利用切線的性質(zhì)得AB⊥BF，則利用∠FAB=60°得到FA=2AB=4，所以F（﹣2，0），再判斷四邊形AOBC′為菱形，則可寫出B（1，），然后利用待定系數(shù)法求直線BF的解析式；

（4）先拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣），再判斷△OBF為頂角為120°的等腰三角形，討論：當(dāng)AM=AO=2時，點(diǎn)M與點(diǎn)C′重合，△BOF與△AOM相似，易得此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)OM=OA時，點(diǎn)M與點(diǎn)C′關(guān)于直線x=1對稱，△BOF與△AOM相似，易得此時M點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)MA=MO時，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)時，∠OAM=120°，可判斷△BOF與△AOM相似，從而得到此時M點(diǎn)的坐標(biāo)．

詳解：（1）作C′H⊥x軸，如圖②．

∵△CDE和△OAB為全等的等邊三角形，而三角板CDE繞邊AB的中點(diǎn)G（G點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△C′ED，∴AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，∴∠C′AH=60°，∴AH=AC′=1，C′H=AH=，∴C′（3，）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣2），把C′（3，）代入得：a31=，解得：a=，∴拋物線解析式為y=x（x﹣2），即y=x2﹣x；

（3）∵BF為⊙G的切線，∴AB⊥BF，而∠FAB=60°，∴FA=2AB=4，∴F（﹣2，0）．

∵OB=OA=AC′=BC′=2，∴四邊形AOBC′為菱形，∴B（1，），設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，把F（﹣2，0），B（1，）代入得：，解得：，∴直線BF的解析式為y=x+；

（4）存在．

拋物線的對稱軸為直線x=1，當(dāng)x=1時，y=x2﹣x=﹣，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）．

∵OF=OB=2，∴△OBF為頂角為120°的等腰三角形，當(dāng)AM=AO=2時，點(diǎn)M與點(diǎn)C′重合，△BOF與△AOM相似，此時M（3，），當(dāng)OM=OA時，點(diǎn)M與點(diǎn)C′關(guān)于直線x=1對稱，△BOF與△AOM相似，此時M（﹣1，），當(dāng)MA=MO時，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)時，∠OAM=120°，△BOF與△AOM相似，此時M（1，﹣）．

綜上所述：滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）或（﹣1，）或（1，﹣）．