Question

如圖，已知點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，且OA=OB=，點(diǎn)C的坐標(biāo)是C（）AB與OC相交于點(diǎn)G．點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度從O運(yùn)動到C，過P作直線EF∥AB分別交OA，OB或BC，AC于E，F(xiàn)．解答下列問題：
（1）直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)和直線AB的解析式．
（2）若點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t，直線EF在四邊形OACB內(nèi)掃過的面積為s，請求出s與t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，直線EF平分四邊形OACB的面積．
（3）設(shè)線段OC的中點(diǎn)為Q，P運(yùn)動的時(shí)間為t，求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFQ為直角三角形．

Answer 1

解：（1）G點(diǎn)的坐標(biāo)是G（，），
∵OA=OB=3，得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，0），（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，
解得：，
故直線AB的解析式為：y=-x+3；

（2）∵C的坐標(biāo)是C（，），
∴OC是∠AOB的角平分線，OC==7，
又∵OA=OB=3，
∴AB==6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3．
①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=•EF•OP=•2t•t=t²，
②當(dāng)3＜t≤7時(shí)，設(shè)EF與AC交于G′，與BC交于H，
OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CHG′∽△CBA，
∴=，
即=，
∴HG′=（7-t），
∴S=S_{四邊形OACB}-S_△CHG′=•AB•CO-HG′•CP
=×6×7-×（7-t）（7-t）
=-t²+t-，
∴s與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=．
當(dāng)直線EF平分四邊形OABC的面積時(shí)有：-t²+t-=××6×7，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：x₁=7+＞7（不符合題意舍去），x₂=7-，
故當(dāng)t=7-時(shí)，直線EF平分四邊形OABC的面積；

（3）①如圖1，當(dāng)P在線段OQ上，且∠EQF=90°時(shí)，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四邊形OEQF是正方形，
∴OP=OQ=×=，
即t=時(shí)，△EFQ為直角三角形，
②如圖2，當(dāng)P在線段CQ上，且∠EQF=90°時(shí)，
同理可證：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EF=2PQ=2（t-），
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴=，
即=，
解得：t=5，
故當(dāng)t=或t=5時(shí)，△EFQ為直角三角形．
分析：（1）根據(jù)AB與OC相交于點(diǎn)G，以及C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等得出G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，即可得出答案，再利用A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出解析式即可；
（2）分別根據(jù)當(dāng)0＜t≤3時(shí)，當(dāng)3＜t≤7時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出s與t的關(guān)系式即可；
（3）利用①當(dāng)P在線段OQ上，且∠EQF=90°時(shí)，以及②當(dāng)P在線段CQ上，且∠EQF=90°時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間關(guān)系得出t的值是解題關(guān)鍵．