Question

如圖，直線y=

1

2

x+b分別于x軸、y軸相交于A、B，與雙曲線y=

k

x

（其中x＞0）相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)p（2，y₁）．作PC⊥x軸于C，已知△APC的面積為9．
（1）求雙曲線所對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）中所求的雙曲線上是否存在點(diǎn)Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x軸于H，當(dāng)QH＞CH時(shí)，使得△QCH與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的解析式及其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)三角形的面積k值從而求出雙曲線的函數(shù)解析式．
（2）利用（1）我們可以求出△AOB各邊的長(zhǎng)，然后利用三角形相似求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)就可以．

解答：解：（1）∵P在直線函數(shù)上
∴y₁=1+b
∵PC⊥x軸
∴PC=1+b
當(dāng)y=0時(shí)，得x=-2b
∴AC=2+2b，OA=2b
∴

1

2

(2+2b)(1+b)=9
解得：b₁=-4，b₂=2
∵P點(diǎn)在第一象限，b＞-1
∴b=2，∴y₁=1+b=3，OA=4
∴P（2，3）∴3=

k

2

∴k=6
∴一次函數(shù)的解析式為：y=

1

2

x+2
雙曲線的解析式為：y=

6

x

（2）由圖得：當(dāng)△QCH∽△ABO時(shí)
∴

CH

BO

=

QH

AO

∴

m-2

2

=

6 m

4

解得：m₁=3，m₂=-1
∵m＞0
∴m=3
∴Q（3，2）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道反比例函數(shù)的綜合試題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象中三角形面積的運(yùn)用、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．