Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動點(diǎn)，連接OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連接CF．    
(l)當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，求弧AB的長；    
(2)當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長；    
(3)在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，清求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)連接BC，A( 10 ,0) , ∴ OA= 10 , CA= 5 ,AOB= 30°， ∴∠ACB=2∠AOB= 60°，     ∴ 弧 AB 的長= (2)連接 OD. OA是OC直徑. ∴OBA= 90°，又AB=BD， ∴OB是AD 的垂直平分線. ∴OD= OA = 10， 在 Rt△ODE中， ∴AE=AO-OE= 10-6 =4， 由∠AOB = ∠ADE = 90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得：△OEF∽△DEA.,      (3)設(shè)OE=x，     ①當(dāng)交點(diǎn)E在0，C之間時(shí).由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB 相似. 有∠ECF =∠BOA 或∠ECF=∠OAB， 當(dāng)∠ECF=∠BOA時(shí).此時(shí)△OCF為等腰三角形.點(diǎn) E為 OC中點(diǎn)， 即∴E1 (.0)； 當(dāng)∠ECF=∠OAB時(shí)，有CE=5-x，AE=10-x， ∴CF∥AB. 有 CF= AB,△ECF∽△EAD， ，解得 ∴ E2(，0)     ②當(dāng)交點(diǎn) E在點(diǎn)C 的右側(cè)時(shí).    ∠ECF>∠BOA，     ∴ 要使△ECF與△BAO相似.只能使∠ECF= ∠BAO,     連接 BE.     BE為 Rt ADE斜邊上的中線，     ∴BE= AB =BD，    ∠BEA= ∠BAO,     ∴∠BEA=∠ECF.      ∴CF∥BE.     ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA= 90°， ∴△CEF∽△AED， 而AD=2BE，     ③當(dāng)交點(diǎn) E在點(diǎn)0 的左側(cè)時(shí).    ∠BOA= ∠EOF>∠EGF.      ∴要使△ECF與△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO     連接 BE，得：BE =AD=AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA， ∴CF∥BF. 又∠ECF = ∠BAO，∠FEC = ∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， 而AD=2BE, 解得 點(diǎn) E在x 軸負(fù)半軸上 綜上所述：存在以點(diǎn) E：C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似. 此時(shí)點(diǎn) E坐標(biāo)為：.