Question

【題目】已知兩動(dòng)圓F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣ ）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線C，若曲線C與y軸的正半軸的交點(diǎn)為M，且曲線C上的相異兩點(diǎn)A、B滿足： =0．
（1）求曲線C的方程；
（2）證明直線AB恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求△ABM面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為Q，則有|QF1|+|QF2|=4（4＞|F1F2|）．

由橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓，a=2，c= ．b=1，

所以曲線C的方程是： =1

（2）解：證明：由題意可知：M（0，1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，易知滿足條件 =0的直線AB為：x=0，過定點(diǎn)N（0，﹣ ）．

當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+m，聯(lián)立方程組有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

x1+x2=﹣ ①，x1x2= ②，

因?yàn)? =0，所以有x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，

把①②代入整理化簡得（m﹣1）（5m+3）=0，m=﹣ 或m=1（舍），

綜合斜率不存在的情況，直線AB恒過定點(diǎn)N（0，﹣ ）

（3）解：△ABM面積S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|=

因N在橢圓內(nèi)部，所以k∈R，可設(shè)t= ≥2，

S= = ≤ = （k=0時(shí)取到最大值）．

所以△ABM面積S的最大值為

【解析】（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為Q，則有|QF1|+|QF2|=4，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到a，c，b，進(jìn)而得到Q的軌跡方程；（2）M（0，1），設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據(jù)直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)條件，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理和直線恒過定點(diǎn)的求法，即可得到定點(diǎn)；（3）△ABM面積S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|，代入韋達(dá)定理，化簡整理，結(jié)合N在橢圓內(nèi)，運(yùn)用對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值．