Question

12．如圖所示，由1開始連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律，并完成以下各題．
（1）圖中第8行最后一個(gè)數(shù)是64，它是自然數(shù)8的平方，第8行共有15個(gè)數(shù)．
（2）用含n代數(shù)式表示：第n行第一個(gè)數(shù)是n²-2n+2，最后一個(gè)數(shù)是n²，第n行共有2n-1個(gè)數(shù)．
（3）n=10時(shí)，求第10行各數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）數(shù)為自然數(shù)，每行數(shù)的個(gè)數(shù)為1，3，5，…的奇數(shù)列，最后一數(shù)為行數(shù)的平方，很容易得到所求之?dāng)?shù)；
（2）知第n行最后一數(shù)為n²，則第一個(gè)數(shù)為n²-2n+2，每行數(shù)由題意知每行數(shù)的個(gè)數(shù)為1，3，5，…的奇數(shù)列，故個(gè)數(shù)為2n-1；
（3）通過以上兩步列公式代入求值，從而解得．

解答 解：（1）由題意知每行最后一數(shù)是行數(shù)的平方，
所以第8行最后一個(gè)數(shù)是該行數(shù)8的平方即得64，
每行數(shù)的個(gè)數(shù)為1，3，5，…的奇數(shù)列，則第8行共有15個(gè)數(shù)；
（2）由（1）知第n-1行最后一數(shù)為（n-1）²，第n行第一個(gè)數(shù)比它大1，
故第n行第一個(gè)數(shù)為：（n-1）²+1，即n²-2n+2；
最后一數(shù)為：n²
每行數(shù)由題意知每行數(shù)的個(gè)數(shù)為1，3，5，…的奇數(shù)列，故個(gè)數(shù)為2n-1；
（3）第n行各數(shù)之和：$\frac{{n}^{2}-2n+2+{n}^{2}}{2}×（2n-1）$=（n²-n+1）（2n-1）
當(dāng)n=10時(shí)，（n²-n+1）（2n-1）=（10²-10+1）×（2×10-1）=1729．
故答案為：（1）64，8，15；
（2）n²-2n+2，n²，2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字的規(guī)律，（1）看數(shù)的規(guī)律，自然數(shù)的排列，每排個(gè)數(shù)1，3，5，…從而求得；（2）最后一數(shù)是行數(shù)的平方，則第一個(gè)數(shù)即求得；（3）通過以上兩步列公式從而解得，本題看規(guī)律為關(guān)鍵．