Question

（2013•雨花臺區(qū)一模）我們曾經(jīng)歷過探索梯形中位線性質(zhì)的過程，在得到梯形中位線性質(zhì)的同時也積累了許多活動經(jīng)驗(yàn)．請利用這些經(jīng)驗(yàn)試著解決以下問題：

問題一、如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=

1

3

AB，DF=

1

3

DC，若AD=4，BC=12，則EF=

20

3

．
問題二、如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)，AE平分∠DAF，且點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，若AF=BF=6.5cm，AB=5cm，求梯形ABCD的面積．
問題三、如圖3，在矩形ABCD中，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)，AE平分∠DAF，且點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，若AD=a，F(xiàn)C=b．請用含有a，b的代數(shù)式表示CD的長．

Answer 1

分析：問題一：連接AC，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出ME，F(xiàn)M的長得出答案即可；
問題二：利用中位線的性質(zhì)得出梯形的中位線長，進(jìn)而求出△ABF的高，即可得出答案；
問題三：根據(jù)平行線分線段成比例定理的性質(zhì)以及等角對等邊得出AF的長，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長，即可得出CD的長．

解答：解：問題一、如圖1，連接AC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=

1

3

AB，DF=

1

3

DC，
AD=4，BC=12，
∴

AE

AB

=

EM

BC

，

FC

CD

=

FM

AD

，
∴

1

3

=

EM

12

，

2

3

=

FM

4

，
解得：ME=4，F(xiàn)M=

8

3

，
則EF=4+

8

3

=

20

3

；

問題二、如圖2，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，連接EN，過點(diǎn)A作AG⊥BF于點(diǎn)G，
∵AF=BF=6.5cm，F(xiàn)N⊥AB，
∴AN=BN，
∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴NE是梯形ABCD的中位線，
∴NE∥AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
此時NM=

1

2

BF=

1

2

×6.5，AM=MF，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF，
∴∠AEM=∠EAF，
∴AM=ME=

1

2

AF=

1

2

×6.5，
∴NE=MN+ME=6.5，
∵AN=BN=2.5，BF=6.5，
解得：FN=6，
∴AG×BF=FN×AB，
則6.5AG=6×5，
解得：AG=

60

13

，
∴梯形ABCD的面積為：AG×NE=6.5×

60

13

=30；

問題三、如圖3，過點(diǎn)E作NE∥AD于點(diǎn)N交AF于點(diǎn)M，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF，
∵AD∥BC，AD∥NE，
∴AD∥NE∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
∴∠EAM=∠AEM，
∴AM=ME，
∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴M為AF中點(diǎn)，
∴AM=MF，
∵AD=a，F(xiàn)C=b，
∴ME=

AD+FC

2

=

a+b

2

，
∴AF=a+b，
∴BF=a-b，
∴AB²=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
∴CD=AB=2

ab

．
故答案為：

20

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理和勾股定理等知識，熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．