Question

拋物線交軸于、兩點，交軸于點,已知拋物線的對稱軸為，,，
（1）求二次函數(shù)的解析式；
在拋物線對稱軸上是否存在一點，使點到、兩點距離之差最大？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
平行于軸的一條直線交拋物線于兩點，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

（1）將代入，
得 ．
將，代入，
得 ．……….(1)
∵是對稱軸，
∴．          (2)
將（2）代入（1）得
，   ．
所以，二次函數(shù)得解析式是．
（2）與對稱軸的交點即為到的距離之差最大的點．
∵點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
∴ 直線的解析式是，
又對稱軸為，
∴ 點的坐標(biāo)．   
（3）設(shè)、，所求圓的半徑為r，
則 ，……………(1)
∵ 對稱軸為，
∴ ．        ……………(2)
由（1）、（2）得：．………(3)
將代入解析式，
得 ，…………(4)
整理得： ．
由于 r=±y，當(dāng)時，，
解得， ， （舍去），
當(dāng)時，，
解得， ， （舍去）．
所以圓的半徑是或．

（1）根據(jù)拋物線過C點，可得出c=-3，對稱軸x=1，則-=1，然后可將B點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立由對稱軸得出的關(guān)系式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是要確定P點的位置，由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此可連接AC，那么P點就是直線AC與對稱軸的交點．可根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AC所在直線的解析式，進而可根據(jù)拋物線對稱軸的解析式求出P點的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知：圓心必在對稱軸上．因此可用半徑r表示出M、N的坐標(biāo)，然后代入拋物線中即可求出r的值．