Question

（2013•舟山）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=

1

4

（x-m）²-

1

4

m²+m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．
（1）當m=2時，求點B的坐標；
（2）求DE的長？
（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數(shù)關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）將m=2代入原式，得到二次函數(shù)的頂點式，據(jù)此即可求出B點的坐標；
（2）延長EA，交y軸于點F，證出△AFC≌△AED，進而證出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性質，求出DE=4；
（3）①根據(jù)點A和點B的坐標，得到x=2m，y=-

1

4

m²+m+4，將m=

x

2

代入y=-

1

4

m²+m+4，即可求出二次函數(shù)的表達式；
②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，然后分（如圖1）和（圖2）兩種情況解答．

解答：解：（1）當m=2時，y=

1

4

（x-2）²+1，
把x=0代入y=

1

4

（x-2）²+1，得：y=2，
∴點B的坐標為（0，2）．

（2）延長EA，交y軸于點F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵點A（m，-

1

4

m²+m），點B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-

1

4

m²+m）=

1

4

m²，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴

BF

AF

=

AE

DE

，即：

1 4 m2

|m|

=

|m|

DE

，
∴DE=4．

（3）①∵點A的坐標為（m，-

1

4

m²+m），
∴點D的坐標為（2m，-

1

4

m²+m+4），
∴x=2m，y=-

1

4

m²+m+4，
∴y=-

1

4

•(

x

2

)2+

x

2

+4，
∴所求函數(shù)的解析式為：y=-

1

16

x²+

1

2

x+4，
②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），
點P的橫坐標為3m，
點P的縱坐標為：（-

1

4

m²+m+4）-（

1

4

m²）=-

1

2

m²+m+4，
把P（3m，-

1

2

m²+m+4）的坐標代入y=-

1

16

x²+

1

2

x+4得：
-

1

2

m²+m+4=-

1

16

×（3m）²+

1

2

×（3m）+4，
解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）當四邊形ABPD為平行四邊形時（如圖2），
點P的橫坐標為m，
點P的縱坐標為：（-

1

4

m²+m+4）+（

1

4

m²）=m+4，
把P（m，m+4）的坐標代入y=-

1

16

x²+

1

2

x+4得：
m+4=-

1

16

m²+

1

2

m+4，
解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=-8，
綜上所述：m的值為8或-8．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，涉及四邊形的知識，同時也是存在性問題，解答時要注意數(shù)形結合及分類討論．