Question

【題目】如圖，在矩形中，、分別是、的中點(diǎn)，連接、、、，且.

（1）求證：；

（2）若，求的長；

（3）在（2）的條件下，求出的外接圓圓心與的外接圓圓心之間的距離？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得到，再根據(jù)同角的余角相等，得到，即可證明相似；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，得到，再利用勾股定理，即可求出AB的長度；

（3）分別找出兩個(gè)三角形外接圓的圓心M、N，利用三角形中位線定理，即可求出MN的長度.

（1）證明：在矩形中，有，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）在矩形中，有AD=BC，

∵、分別是、的中點(diǎn)，

∴；

∵，

∴，

∴，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

，

∴，

解得：；

（3）如圖：

∵△ABC是直角三角形，

∴△ABC的外接圓的圓心在AC中點(diǎn)M處，

同理，△CEF的外接圓的圓心在CF的中點(diǎn)N處，

∴線段MN為△ACF的中位線，

∴，

由（2）知，，

∴，

∴.