Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)的此拋物線上，且OE⊥BC于D，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使線段PA與PE之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OA、OC的長(zhǎng)，即可得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）不難得出B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），因此△OBC是等腰直角三角形，如果OE⊥BC，那么E點(diǎn)必為直線y=x與拋物線的交點(diǎn)，由此可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）由于B點(diǎn)就是A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因此只需求出直線BE與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．那么PA、PE的差的最大值就是BE的長(zhǎng)，可根據(jù)BE的坐標(biāo)來(lái)求出這個(gè)最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得A（-2，0）、C（0，3）．
∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+c過(guò)A（-2，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，
∴

-2-2b+c=0 c=3

解得

b= 1 2 c=3

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由y=-

1

2

x²+

1

2

x+3可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
∴OB=OC=3．
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC．（4分）
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)．
設(shè)E（x，y）．
解方程組

y=x y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3

得

x1=2 y1=2

，

x2=-3 y2=-3

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）．

（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，
使線段PA與PE之差的值最大．
當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=

1

2

和BE所在的直線y=-2x+6的交點(diǎn)時(shí)，
PA-PE=PB-PE=BE，其值最大．
BE=

12+22

=

5

．（6分）
由

x= 1 2 y=-2x+6

解得

x= 1 2 y=5

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，5）．
∴點(diǎn)P為（

1

2

，5）時(shí)PA-PE的最大值為

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．要注意的是（3）中確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．