Question

【題目】已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處，使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）在（1）的條件下，若，求∠AED的度數(shù)；

（3）若BC＝4，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)DM，DM與AC交于點(diǎn)O，當(dāng)三角板的邊DF與邊DM重合時(shí)（如圖2），若，求DN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（1）CE=AF，證明見(jiàn)解析；（2）135°；（3） ．

【解析】

（1）由正方形額等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出△ADF≌△CDE即可；
（2）設(shè)DE=k，表示出AE，CE，EF，判斷出△AEF為直角三角形，即可求出∠AED；

（3）證△MAO∽△DCO得 ，由勾股定理得DM=2，據(jù)此求得DO= ，結(jié)合OF= 知DF=，再證△DFN∽△DCO得，據(jù)此計(jì)算可得．

解：（1）CE=AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE=AF；
（2）設(shè)DE=k，
∵DE：AE：CE=1：：3
∴AE=k，CE=AF=3k，
∴EF=k，
∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，
即AE2+EF2=AF2
∴△AEF為直角三角形，
∴∠BEF=90°
∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；
（3）∵M是AB的中點(diǎn)，
∴MA=AB=AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴，
在Rt△DAM中，AD=4，AM=2，
∴DM=2，
∴DO=，
∵OF=，
∴DF=，
∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴ ，即 ，
∴DN= ．