Question

已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．

（1）如圖①，若AB=2，∠P=30°，求AP的長（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

（1） （2）證明OC⊥CD，得直線CD是⊙O的切線

試題分析：（1）AP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，；在中由三角函數(shù)的定義得，又因?yàn)锳B=2，∠P=30°，所以
（2）連接OC、OD，如圖所示

由題知OB=OC，；AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C，；AB是⊙O的直徑，O是AB的中點(diǎn)，若D為AP的中點(diǎn)，所以O(shè)D是的中位線，則OD//BP，，所以；AP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，，所以，，則，因此OC⊥CD，所以直線CD是⊙O的切線
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)、直線與圓相切，要求考生掌握三角函數(shù)的定義，并利用它的定義來解題；掌握直線與圓的性質(zhì)，會(huì)判定直線與圓相切