Question

如圖，直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，C，過點(diǎn)A、C分別作x，y軸的垂線，交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿△AOC邊 A→O→C→A的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△APC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△ADP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，C，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，6），
∵過點(diǎn)A、C分別作x，y軸的垂線，交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（8，6）；

（2）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，點(diǎn)P在OA上，
∵AP=t，OC=6，
∴S=AP•OC=×t×6=3t；
當(dāng)8＜t＜14時(shí)，點(diǎn)P在OC上，
∵PC=OA+OC-t=14-t，OA=8，
∴S=PC•OA=×（14-t）×8=-4t+56；

（3）存在．
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=AB=3，
①當(dāng)0≤t≤8時(shí)，點(diǎn)P在OA上，
∵∠OAD=90°，
∴當(dāng)AP=AD=3時(shí)，
∴t=3；
②如圖1，當(dāng)8＜t≤14時(shí)，點(diǎn)P在OC上，
過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，
∵PA=PD，
∴AH=AD=1.5，
∴OP=AH=1.5，
∴t=9.5；
③如圖2，當(dāng)14＜t≤24時(shí)，點(diǎn)P在AC上，
當(dāng)AD=P₁D時(shí)，AP₁=2AD•cos∠BAC=3.6，
∴t=OA+OC+AC-AP₁=24-3.6=20.4；
當(dāng)AP₂=AD=3時(shí)，t=24-3=21；
當(dāng)AP₃=P₃D時(shí)，AP₃=2.5，
∴t=24-2.5=21.5．
綜上可得：t=3或t=9.5或t=20.4或 t=21或t=21.5．
分析：（1）由直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，C，即可求得點(diǎn)A與C的坐標(biāo)，又由過點(diǎn)A、C分別作x，y軸的垂線，交于點(diǎn)B，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）分別從點(diǎn)P在OA上與點(diǎn)P在OC上去分析求解即可求得答案；
（3）分別從點(diǎn)P在OA上、點(diǎn)P在OC上與點(diǎn)P在AC上去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．