Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn)，求△ACD的面積；

（3）如圖2，射線AE交拋物線于點(diǎn)E，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F（點(diǎn)F在線段AE上），點(diǎn)P是直線AE下方拋物線上的一點(diǎn)，S△ABE＝，求△APE面積的最大值和此動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）3；（3）P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案；

（2）根據(jù)（1）中求出的函數(shù)解析式得出點(diǎn)A、C和D的坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法即可得出答案；

（3）設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為t，根據(jù)△ABE的面積求出t的值，再代入函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將A和E的坐標(biāo)代入即可得出直線AE的解析式，接著根據(jù)S△APE＝S△APG+S△PEG求出面積的函數(shù)關(guān)系式，再化為頂點(diǎn)式即可得出答案．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC，

∴a+2a+c＝0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（c，0），

∴ac2+2ac+c＝0，

∴，

解得，或，

∵函數(shù)圖象開口向上，

∴a＞0，

∴a＝1，c＝﹣3，

∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，拋物線與與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，OA＝OC，拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B（1，0）兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），

連接OD，如右圖1所示，

由圖可知：

S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC

＝

＝3；

（3）∵A（﹣3，0），點(diǎn)B（1，0），

∴AB＝4，

設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為t，t＜0，

∵S△ABE＝，

∴，得t＝，

把y＝代入y＝x2+2x﹣3，得

＝x2+2x﹣3，

解得，x1＝，x2＝，

∵點(diǎn)E在y軸的右側(cè)，

∴點(diǎn)E（，），

設(shè)直線AE的解析式為y＝mx+n（m≠0），

∴，得，

∴直線AE的解析式為y＝x﹣1，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)G，如圖2所示，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則P（x，x2+2x﹣3），點(diǎn)G（x，x﹣1），

∴PG＝（x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，

又∵A（﹣3，0），E（，），

∴S△APE＝S△APG+S△PEG

＝

＝

＝，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，S△APE取得最大值，最大值是，

把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得

y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．