Question

如圖，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=4x相交于點(diǎn)C，過直線上點(diǎn)A（2，8）作AB垂直于x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，且AD=3BD．

（1）求k的值；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到C、D兩點(diǎn)距離之和PC+PD最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

 

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)A坐標(biāo)，以及AD=3BD求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；

（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；

（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于P，則P點(diǎn)即為所求，利用待定系數(shù)法求出直線C′D的解析式，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵A（2，8），

∴AB=8，OB=2，

∵AD=3BD，

∴BD=2，

∴D（2，2）

將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=4；

 

（2）∵由（1）知，k=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=，

∴，解得x=±1．

∵x＞0，

∴x=1，

∴C（1，4）；

 

（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于P，則P點(diǎn)即為所求，

∵C（1，4），

∴C′（﹣1，4）．

設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵D（2，2），

∴，解得，

∴直線C′D的解析式為y=﹣x+，

∴P（0，）．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點(diǎn)求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．