Question

如圖，一個大的六角星形（粗實線）的頂點是周圍六個全等的小六角星形（細線型）的中心，相鄰的兩個小六角星形各有一個公共頂點，如果小六角星形的頂點C到中心A的距離為a，
求：（1）大六角星形的頂點A到其中心O的距離；
（2）大六角星形的面積；
（3）大六角星形的面積與六個小六角星形的面積之和的比值．
（注：本題中的六角星形有12個相同的等邊三角形拼接而成的）

Answer 1

分析：（1）連接CO，則△AOC是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30，由AC=a，即可得到OA的長．
（2）大六角星形的面積是等邊△AMN面積的12倍，在Rt△ACM中，由∠CAM=30°，得到CM=

1

2

AM，再根據(jù)勾股定理即可得到AM=

2 3

3

a，然后根據(jù)三角形面積公式得到大六角星形的面積S=12×

1

2

×

2 3

3

a×a=4

3

a2．
（3）大小六角星形相似，面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方，而小六角星形的頂點C到其中心A的距離為a，大六角星形的頂點A到其中心O的距離為2a，所以大六角星形的面積是一個小六角星形的面積的4倍，由此得到大六角星形的面積與六個小六角星形的面積和的比值．

解答：解：（1）連接CO，AC=a，
則△AOC是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30°，
所以AO=2AC=2a；

（2）如圖，大六角星形的面積是等邊△AMN面積的12倍，
∵∠CAM=30°，
∴CM=

1

2

AM，
在Rt△ACM中，
AM²=（

AM

2

）²+a²，解得AM=

2 3

3

a，
所以大六角星形的面積S=12×

1

2

×

2 3

3

a×a=4

3

a2；

（3）小六角星形的頂點C到其中心A的距離為a，大六角星形的頂點A到其中心O的距離為2a，所以大六角星形的面積是一個小六角星形的面積的4倍，
所以大六角星形的面積：六個小六角星形的面積和=2：3．

點評：本題考查了相似圖形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及三角形的面積公式．