Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（10，0 ），C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為（ ）

A．（3，4）（2，4）
B．（3，4）（2，4）（8，4）
C．（2，4）（8，4）
D．（3，4）（2，4）（8，4）（2.5，4）

Answer 1

【答案】分析：分為兩種情況：①OD=OP，求出CP，即可求出P的坐標；②DP=OD=5，此時有兩點，過P′作P′N⊥OA于N，求出CP′即可；同法可求P″的坐標．
解答：解：有兩種情況：①以O為圓心，以5為半徑畫弧交BC于P點，此時OP=OD=5，
在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
則P的坐標是（3，4）；

②以D為圓心，以5為半徑畫弧交BC于P′和P″點，此時DP′=DP″=OD=5，
過P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，設CP′=x，
則DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：4²+（5-x）²=5²，
x=2，
則P′的坐標是（2，4）；
過P″作P″M⊥OA于M，
設BP″=a，
則DM=5-a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）²+4²=5²，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10-2=8，
即P″的坐標是（8，4）；
故選B．
點評：本題考查了坐標與圖形性質，矩形性質，等腰三角形的判定的應用，能求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵，注意：一定要進行分類討論．