Question

【題目】如圖，以AB為直徑作半圓O，點(diǎn)C為半圓上與A，B不重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，BE與半圓交于點(diǎn)F，連CE．

（1）判斷CE與半圓O的位置關(guān)系，并給予證明．

（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCFB的形狀可變?yōu)榱庑螁幔咳艨梢�，猜想此時(shí)∠AOC的大小，并證明你的結(jié)論；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）CE是圓O的切線；（2）可以，此時(shí)∠AOC=60°．

【解析】

試題分析：（1）CE是圓O的切線．欲證明CE是圓O的切線，只需推知∠OCE=90°即可；

（2）可以，此時(shí)∠AOC=60°．根據(jù)已知條件可以推知△COF與△BOF為等邊三角形，則四邊形OCFB的四條邊相等：OC=CF=FB=OB，故四邊形OCFB是菱形．

試題解析：（1）解：CE是圓O的切線．理由如下：

連接OC，則OC=OB，∴∠OCB=∠OBC．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，∴∠BCE=∠BCD．

又CD⊥AB，∴∠BCD+∠OBC=∠BCE+∠OCB=90°，即∠OCE=90°，又∵點(diǎn)C在半圓O上，∴CE是圓O的切線．

（2）解：可以，此時(shí)∠AOC=60°．理由如下：

連接OF．∵∠AOC=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，∴∠CBF=∠OBC=30°，∴∠COF=60°，∴∠OBF=60°，∵OC=OF=OB，∴△COF與△BOF為等邊三角形，∴OC=CF=FB=OB，∴四邊形OCFB是菱形．