Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-1），AB=

2

．
（1）如圖1，以點(diǎn)A為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H交y軸于D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在線段OA上有一點(diǎn)E滿足S_△OEB：S_△EAB=1：

2

，直線AN平分△OAB的外角交BE于N．求∠BNA的度數(shù)；
（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)Q為A右側(cè)x軸上一點(diǎn)，另有在第四象限的動(dòng)點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)P、Q，總滿足∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ．①請(qǐng)畫出滿足題意的圖形；②若點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，∠ABO=α，請(qǐng)直接用含α的式子表示∠BPQ的值（不需證明）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)半徑相等得到AC=AB=

2

，則OC=

2

-1，再證明Rt△AOD∽R(shí)t△BOC，利用相似比可得到OD=

2

-1，則可得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1-

2

）；
（2）作EF⊥AB于F，先判斷△OAB為等腰直角三角形，得到∠OBA=∠OAB=45°，則又可判斷△AEF為等腰直角三角形，于是有EF=

2

2

AE，再利用S_△OEB：S_△EAB=1：

2

，得到OE=

1

2 +1

OA=

2

-1，所以AE=OA-OE=2-

2

，則EF=

2

-1=EO，根據(jù)角平分線定理的逆定理BE平分∠OBA，則∠EBA=

1

2

∠OBA=22.5°，由直線AN平分△OAB的外角交BE于N得到∠NAE=

1

2

67.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BNA的度數(shù)；
（3）①分別作AB和AQ的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)，根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，PA=PQ，則∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ；
②先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BAQ=90°+α，即∠PAB+∠PAQ=90°+α，由∠PAB=∠PBA，∠PQA=∠PAQ得到∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ=180°+2α，
然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可計(jì)算出∠BPQ=180-2α．

解答：解：（1）AC=AB=

2

，OC=

2

-1，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∵∠BDH=∠ODA，
∴∠HBD=∠OAH，
∴Rt△AOD∽R(shí)t△BOC，
∴

OD

OC

=

AO

BO

，即

OD

2 -1

=

1

1

，
∴OD=

2

-1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1-

2

）；

（2）作EF⊥AB于F，如圖2，
∵OA=OB=1，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=

2

2

AE，
∵S_△OEB：S_△EAB=1：

2

，
∴OE=

1

2 +1

OA=

2

-1，
∴AE=OA-OE=2-

2

，
∴EF=

2

2

（2-

2

）=

2

-1，
∴EF=EO，
∴BE平分∠OBA，
∴∠EBA=

1

2

∠OBA=22.5°，
∵直線AN平分△OAB的外角交BE于N，
∴∠NAE=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠BNA=180°-22.5°-67.5°-45°=45°；

（3）①作AB和AQ的垂直平分線，它們相交于P點(diǎn)，如圖；
②∵∠ABO=α，
∴∠BAQ=90°+α，即∠PAB+∠PAQ=90°+α，
∵∠PAB=∠PBA，∠PQA=∠PAQ，
∴∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ=2（90°+α）=180°+2α，
∴∠BPQ=360°-（∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ）=180-2α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用角平分線定理的逆定理證明角相等；運(yùn)用三角形相似進(jìn)行幾何計(jì)算．