Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點，D是拋物線的頂點，O為坐標(biāo)原點．A、B兩點的橫坐標(biāo)分別是方程x²-4x-12=0的兩根，且cos∠DAB=

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．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）作AC⊥AD，AC交拋物線于點C，求點C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在一點P，使△APC的面積最大？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)和△APC的最大面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解出方程x²-4x-12=0的兩根即可求出A、B兩點的坐標(biāo)，再利用cos∠DAB=

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求出D點坐標(biāo)，進而利用頂點式、兩根式或一般式求出二次函數(shù)的解析式．
（2）由（1）推得△ACG是等腰直角三角形，據(jù)此設(shè)出C點坐標(biāo)C（a，-a-2），將其代入拋物線即可求出a的值，進而求出A、C的坐標(biāo)，從而求出直線解析式．
（3）將S_△APC分解為S_△APF與S_△PCF的和，求出PF的函數(shù)表達式，利用三角形的面積公式得出S_△APC的表達式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）解方程x²-4x-12=0得x₁=6，x₂=-2．
∴A（-2，0），B（6，0）．過D作DE⊥x軸于E，
∵D是頂點，
∴點E是AB的中點，
∴E（2，0）．
在Rt△DAE中，
∵cos∠DAB=

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，
∴∠DAE=45°，
∴AE=DE=4，
∴D（2，4）（由A、B、D三點坐標(biāo)解出二次函數(shù)解析式，不論用頂點式、兩根式還是一般式均可），
∴拋物線的解析式為y=-

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(x-2)2+4（或?qū)懗?span id="2ebqolq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=-

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x2+x+3）；

（2）∵AC⊥AD，由（1）∠DAE=45°得：
∠BAC=45°，作CG⊥x軸于G，△ACG是等腰直角三角形．
∴設(shè)C（a，b）（顯然a＞0，b＜0），
則b=-a-2，即C（a，-a-2），
∵點C在拋物線上，
∴-a-2=-

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（a-2）²+4，
a²-8a-20=0，
解之得：a₁=10，a₂=-2（舍去），
∴C（10，-12）設(shè)直線AC的方程為y=mx+n，代入A、C的坐標(biāo)，得

0=-2m+n -12=10m+n

，
解之得：

m=-1 n=-2

，
∴直線AC的解析式為y=-x-2；

（3）存在點P（4，3），使S_△APC最大=54．
理由如下：
作CG⊥x軸于G，PF∥y軸交x軸于Q，交AC于F．設(shè)點P的橫坐標(biāo)是h，
則G（10，0），P（h，-

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(h-2)2+4），F(xiàn)（h，-h-2），
∴PF=-

1

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(h-2)2+4-(-h-2)=-

1

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h2+2h+5，
△PCF的高等于QG．
S_△APC=S_△APF+S_△PCF，
=

1

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PF•AQ+

1

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PF•QG，
=

1

2

PF（AQ+QG）=

1

2

PF•AG，
=

1

2

(-

1

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h2+2h+5)×12，
=-

3

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(h-4)2+54（-2＜x＜6），
∴當(dāng)h=4時，S_△APC最大=54．
點P的坐標(biāo)為（4，3）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有求拋物線的解析式、直線的解析式、和三角形的面積求法．關(guān)于點的存在性問題時要注意分析題意，先假設(shè)存在，再進行計算，若能求出該點坐標(biāo)，則該點存在；若不能求出該點坐標(biāo)，則該點不存在．