Question

【題目】如圖，A（0，8）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒.

(1)若AB∥x軸，求t的值；

(2)當(dāng)t=6時，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使O、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形面積是104？如果存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；

(4)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A，連接A′B，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中∠OA′B的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數(shù)，若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) t的值為秒；(2) 點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（12，﹣8），（8，14），（14，﹣2）；(3) 存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（18，0）或（，0）；(4)∠OA'B=45°，不發(fā)生變化；理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)是等腰直角三角形以及AB∥軸，求得∠APO為直角，證得也是等腰直角三角形，從求得答案；

(2)分類討論：分別討論當(dāng)△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB時，點(diǎn)M的坐標(biāo)的情況；過點(diǎn)M作x軸的垂線、過點(diǎn)B作y軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

(3)分類討論：①D在x軸的正半軸上；②D在x軸的負(fù)半軸上，根據(jù)面積的和差，列式計算可得答案．

(4)根據(jù)已知條件易證△PAO≌△BPC，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，可證得點(diǎn)B在直線上，再根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（0，-8）也在直線上，從而求得∠OA′B的度數(shù).

(1) ∵是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴，

∵AB∥軸，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴(秒)，

故t的值為秒；

(2)當(dāng)t＝6時，M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，

①如下圖，若△ABP≌△MBP，

則AP＝PM，過點(diǎn)M作MD⊥OP于點(diǎn)D，

在△AOP和△MDP中，

，

∴△AOP≌△MDP（AAS），

∴OA＝DM＝8，OP＝PD＝6，

∴M的坐標(biāo)為：（12，-8）．

②如下圖，若△ABP≌△MPB，則，

過點(diǎn)M作M⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPE中，

，
∴△PAO≌△BPE（AAS），

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

在和中

∠BAF＝45+，∠MPE＝45+，

∴∠BAF＝∠MPE

在和中

∴

∴

∴M的坐標(biāo)為：（8，14），

③如下圖，若△ABP≌△MPB，則，

過點(diǎn)M作M⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPE中，

，
∴△PAO≌△BPE（AAS），

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

∵⊥軸

∴

∵

∴

在和中

∴

∴

∴M的坐標(biāo)為：（14，﹣2）．

綜合以上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（12，﹣8），（8，14），（14，﹣2）；

(3) 存在，

①D在x軸的正半軸上，設(shè)D（a，0），作BE⊥x軸于E點(diǎn)，如下圖：

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPE中，

，
∴△PAO≌△BPE（AAS），
∴

∵BE⊥x軸

∴BE∥AO，

∴,

∵四邊形AOBD的面積是104，

∴點(diǎn)D在點(diǎn)的右側(cè)，

∴，

∴，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（18，0）.

②D在x軸的負(fù)半軸上，如下圖：

根據(jù)上面所求得的數(shù)據(jù)得：

，

∴，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，0）.

綜上：點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（18，0）或（，0）；

(4)∠OA'B=45°，不發(fā)生變化；理由如下：

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPC中，

，
∴△PAO≌△BPC（AAS），
∴AO=PC，BC=PO．
∵點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)P（t，0）
∴PC=AO=8，BC=PO=t，CO=PC+PO=8+t
∴點(diǎn)B（8+t，t）；
∴點(diǎn)B在直線上
又∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（0，-8）也在直線上，
∴∠OA'B=45°．