Question

【題目】已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線交AC于E點(diǎn)，交AB于點(diǎn)F，DF=BF，EA=EF．

（1）求證：△AEF為等邊三角形；

（2）若CF⊥AB，①試說(shuō)明DC = CF；②求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）根據(jù)直徑可得，再根據(jù)等腰三角形和外角定理可得，再根據(jù)EF=EA，即可得到結(jié)果；

（2）①連接OC，則OA=OC，由（1）可得，得到三角形AOC是等邊三角形，再由CF⊥AB，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可得到角的關(guān)系，即可得到結(jié)果；②根據(jù)已知條件證明，可得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果．

（1）證明：由圖可知。

∵AB是O的直徑

∴，

∴，

∵DF=BF，

∴，

∴，

∵EA=EF，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵EF=EA，

∴△AEF是等邊三角形．

（2）①如圖所示，

連接OC，則OA=OC，由（1）可得，

∴三角形AOC是等邊三角形，

又∵CF⊥AB，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴CD=CF．

②由題可得圓的半徑為1，

由①可得：,，

∴，

∴AC=OC=CA=1，

∴，

∴，

∴．