Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．如果x₁+x₂=1，x₁•x₂=-6，且△ABC的面積為

15

2

．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）如果P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作直線y=m（m為常數(shù)），與直線BC交于點(diǎn)Q，則在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得以PQ為一腰的△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A，B的坐標(biāo)，易求出三角形ABC的面積以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．易求解析式．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)R，直線y=m與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，根據(jù)△PQR為等腰直角三角形列式求解即可．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形如下所示：

（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，
∴點(diǎn)E（0，m）不與點(diǎn)O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ為等腰直角三角形PQR的一腰，
過(guò)點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
點(diǎn)P在直線AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴點(diǎn)R₁（-

3

4

，0）．
過(guò)點(diǎn)Q作QR₂⊥x軸于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴點(diǎn)R₂（

9

8

，0）．驗(yàn)證成立，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）是滿足條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度較大，要利用大量的輔助線的幫助，注意各部分知識(shí)的綜合應(yīng)用，并注意總結(jié)積累這些綜合題的解題思路．